Equations Differentielles Operationnelles

Dans un espace de BANACH H soit A(t) une famille doperateurs non bornes tE [0 TJ pour fixer les idees. On appelle equation difterentielle operationneUe (lineaire) une equation de la forme A(t)u(t)]u(t) =f(t) la fonction f Hant donnee continue de [0 TJ dans H la fonction u Hant une fois continument differentiable dans [0 TJ a valeurs dans H u(t) appartenant a D(A(t)) (domaine de A(t)) pour chaque tE[O T]. Les exemples les plus importants sont ceux Oll A(t) est un systeme differentiel le domaine de A(t) Hant alors fixe par des conditions aux limites. Le probleme de CAUCHY consiste a trouver une solution de (*) verifiant la condition initiale u(O) = u U donne (dans D(A(O))). o o Mais il est classique que pour bien des applications le probleme pose sous la forme precedente impose des conditions trop restrictives a u. Il faut introduire alors la notion de solution faible de ce probleme; il y a un tres grand nombre de telles notions; une classification en est donnee au Chap. 1. Les Chap. IV V VII IX X donnent diverses con- ditions suffisantes portant sur les A (t) pour que tel ou tel probleme faible admette une solution et une seule; on y Hudie la regularite de ces solutions et les meilleurs domaines Oll l on doit prendre les donnees initiales.