Lineare Algebra und Analytische Geometrie II

Die Jordanzerlegung in halbeinfachen und nilpotenten Anteil lieferte uns die charakteristische Abbildung n M{n x nK) ~ K x die jeder Matrix A die Koeffizienten (a ••• a ) des charakteristischen 1 n Polynoms von A zuordnet. Mit Hilfe dieser Abbildung hatten wir das Klassi­ fikationsproblem in zwei Teilprobleme A und B aufgespalten. Problem A Hier bestand das Problem in der Klassifikation der halbeinfachen Matrizen bis auf Konjugation. Das Hauptresultat war der Satz 11.45*. Die Konjugations­ klassen halbeinfacher Matrizen entsprechen bijektiv den Punkten des affinen Raumes ~. Eine Einteilung der halbeinfachen Konjugationsklassen in Typen ergibt sich in naturlicher Weise durch die algebraischen Multiplizitaten der Eigenwerte Ai • Dabei entsprechen die regularen Elemente d.h. die­ n jenigen mit m = 1 gerade den Punkten von K 1m Komplement der Disk- i n minantenmenge D cK und den verschiedenen Typen von singul4ren Elementen entsprechen wie wir an Beispielen gesehen haben verschiedene Strata (d.h. Schichten) von D welche man analytisch-geometrisch charakterisieren kann. 1m Fall K = Roder K = ~ sehen wir also daB die Konjugationsklassen der halbeinfachen Anteile eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit bilden namlich einen affinen Raum Kn und daB die weitere Typeneinteilung dieser Konju­ gationsklassen mit der analytischen Geometrie der Diskriminantenmengen n D c. K zusammenhangt.